Сумма квадратов корней квадратного уравнения - это важная характеристика, которая может быть выражена через коэффициенты уравнения без непосредственного нахождения самих корней. Рассмотрим методы вычисления этой величины.
Содержание
1. Основная формула для квадратного уравнения
Для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ сумма квадратов корней вычисляется по формуле:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
2. Связь с коэффициентами уравнения
Используя теорему Виета, получаем:
| Выражение | Через коэффициенты |
| x₁ + x₂ | -b/a |
| x₁x₂ | c/a |
| x₁² + x₂² | (b² - 2ac)/a² |
3. Пример вычисления
3.1. Дано уравнение:
2x² - 5x + 3 = 0
3.2. Вычисление:
- По теореме Виета: x₁ + x₂ = 5/2, x₁x₂ = 3/2
- Применяем формулу: (5/2)² - 2*(3/2) = 25/4 - 3 = 13/4
- Проверка через коэффициенты: (5² - 2*2*3)/2² = (25-12)/4 = 13/4
4. Обобщение для уравнений высших степеней
Для кубического уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 с корнями x₁, x₂, x₃:
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = (b² - 2ac)/a²
5. Практическое применение
- Анализ устойчивости систем в физике и технике
- Решение задач на экстремумы
- Исследование свойств квадратичных форм
- Оптимизационные задачи в экономике
6. Свойства суммы квадратов корней
| Свойство | Описание |
| Неотрицательность | Всегда ≥ 0 для действительных корней |
| Минимальное значение | Достигается при x₁ = x₂ |
| Связь с дискриминантом | Зависит от D = b² - 4ac |
7. Вычисление через дискриминант
Для действительных корней квадратного уравнения:
x₁² + x₂² = (b² - D - 2ac)/a², где D - дискриминант
Заключение
Сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть эффективно вычислена через коэффициенты уравнения без нахождения самих корней. Эта величина имеет важное теоретическое значение и практические приложения в различных областях науки и техники. Формула (b² - 2ac)/a² позволяет легко определить сумму квадратов корней, зная только коэффициенты исходного уравнения.
